Stabilita dvoučlenných zlomkových diferenciálních rovnic

Stability properties of two-term fractional differential equations

journal article in Web of Science

en

This paper formulates explicit necessary and sufficient conditions for the local asymptotic stability of equilibrium points of the fractional differential equation Dα y(t) + f (y(t), Dβ y(t)) = 0, t > 0 involving two Caputo derivatives of real orders α>β such that α/β is a rational number. First, we consider this equation in the linearized form and derive optimal stability conditions in terms of its coefficients and orders α, β. As a byproduct, a special fractional version of the Routh–Hurwitz criterion is established. Then, using the recent developments on linearization methods in fractional dynamical systems, we extend these results to the original nonlinear equation. Some illustrating examples, involving significant linear and nonlinear fractional differential equations, support these results.

Článek formuluje explicitní nezbytné a postačující podmínky pro lokální asymptotickou stabilitu rovnovážných bodů zlomkové diferenciální rovnice Dα y(t) + f (y(t), Dβ y(t)) = 0, t > 0 obsahující dvě Caputovy derivace reálných řádů α>β takových, že α/β je racionální číslo. Nejprve uvažujeme tuto rovnici v linearizované formě a odvodíme optimální podmínky stability vyjádřené jejími koeficienty a řády α, β. Jako vedlejší produkt získáme speciální zlomkovou verzi Routhova-Hurwitzova kriteria. Potom, s využitím nedávného pokroku v oblasti linearizace zlomkových dynamických systémů, rozšíříme tyto výsledky na původní nelineární rovnici. Přikládáme několik ilustrativních příkladů významných lineárních a nelineárních rovnic.

This paper formulates explicit necessary and sufficient conditions for the local asymptotic stability of equilibrium points of the fractional differential equation Dα y(t) + f (y(t), Dβ y(t)) = 0, t > 0 involving two Caputo derivatives of real orders α>β such that α/β is a rational number. First, we consider this equation in the linearized form and derive optimal stability conditions in terms of its coefficients and orders α, β. As a byproduct, a special fractional version of the Routh–Hurwitz criterion is established. Then, using the recent developments on linearization methods in fractional dynamical systems, we extend these results to the original nonlinear equation. Some illustrating examples, involving significant linear and nonlinear fractional differential equations, support these results.

Zlomková diferenciální rovnice; Caputova derivace; Asymptotická stabilita; Rovnovážný bod

Fractional differential equation; Caputo derivative; Asymptotic stability; Equilibrium point

2015

09.05.2015

0924-090X

80

4

1673–1684

12