Detail předmětu
Funkcionální analýza I
FSI-SU1 Ak. rok: 2018/2019 Letní semestr
V předmětu se diskutují základní pojmy a principy funkcionální analýzy týkající se především metrických prostorů, lineárních normovaných prostorů (speciálně Banachových) a unitárních prostorů (speciálně Hilbertových). Zmíněny jsou i elementy Lebesgueova integrálu. Dále je ukázáno využití těchto pojmů při řešení některých úloh matematické analýzy a numerické matematiky.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
5
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Základní znalost metrických, lineárních normovaných a unitárních prostorů, elementů Lebesgueova integrálu a souvisejících pojmů. Schopnost získané poznatky využívat.
Prerekvizity
Diferenciální počet, integrální počet, diferenciální rovnice, lineární algebra, elementy teorie množin, elementy numerické matematiky.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu teoretického základu a základních principů dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních (účast je povinná), úspěšné napsání dvou testů během semestru.
Zkouška: Zkouška má ústní formu. Diskutována je teorie i příklady. Vyžaduje se orientace v probraných základních pojmech a principech disciplíny a ilustrace teorie v konkrétních situacích.
Učební cíle
Seznámit a naučit studenty pracovat se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických disciplínách.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Bude kontrolována účast na cvičeních. V průběhu semestru budou psány dva testy.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program B3A-P: Aplikované vědy v inženýrství, bakalářský
obor B-MAI: Matematické inženýrství, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
Metrické prostory
Základní pojmy a fakta. Uzavřené a otevřené množiny. Konvergence. Separabilní metrické prostory.
Úplné metrické prostory.
Zobrazení metrických prostorů. Banachova věta o pevném bodu. Aplikace.
Kompaktní prostory. Prekompaktnost a relativní kompaktnost. Arzeláova-Ascoliho věta.
Příklady.
Elementy teorie míry a integrálu
Motivace. Lebesgueova míra. Měřitelné funkce. Lebesgueův integrál. Základní vlastnosti. Věty o limitních přechodech.
Příklady.
Normované lineární prostory
Základní pojmy a fakta. Banachovy prostory.
Izometrie. Homeomorfismus.
Vliv dimenze prostoru.
Nekonečné řady v Banachových prostorech.
Schauderova věta a aplikace.
Příklady.
Unitární prostory
Základní pojmy a fakta. Hilbertovy prostory.
Izometrie. Ortogonalita.
Obecné Fourierovy řady. Rieszova-Fischerova věta.
Separabilní Hilbertovy prostory.
Příklady.
Lineární funkcionály, duální prostory
Pojem lineárního funkcionálu. Lineární funkcionály v normovaném prostoru.
Spojité a ohraničené funkcionály.
Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
Duální prostor. Reflexivita.
Banachova-Steinhausova věta a její důsledky.
Slabá konvergence.
Příklady.
Speciální typy prostorů (v rámci probírané teorie), zejména prostory posloupností,
prostory spojitých funkcí, prostory integrovatelných funkcí. Některé nerovnosti.
Cvičení
26 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
Procvičování látky z přednášek na konkrétních příkladech, a to zejména prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých resp. integrovatelných funkcí.