Detail předmětu
Mathematical Analysis
FSI-UMA-A Ak. rok: 2020/2021 Zimní semestr
Předmět má seznámit studenty se základy teorie integrálního počtu funkcí více proměnných, teorie křivkových a plošných integrálů, teorie funkčních řad a teorie diferenciálních rovnic. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro studium fyzikálních a inženýrských disciplín. Předmět zahrnuje následující témata: Vícerozměrné integrály. Křivkové integrály. Plošné integrály. Mocninné řady. Taylorovy řady. Fourierovy řady. Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů. Parciální diferenciální rovnice.
Jazyk výuky
angličtina
Počet kreditů
7
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Studenti získají po absolvování předmětu znalosti z integrálního počtu funkcí více proměnných a z teorie křivkových a plošných integrálů. Budou schopni aplikovat tyto znalosti v různých úlohách mechaniky. Naučí se posuzovat otázky konvergence nekonečných řad a možnosti rozvojů funkcí v mocninné a Fourierovy řady. Studenti také zvládnou analyticky řešit soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty a provést kvalitativní analýzu některých úloh pro soustavy nelineárních diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách se seznámí s konstrukcí diferenciální rovnice jako matematického modelu dané úlohy. Po absolvování kurzu budou mít studenti znalosti potřebné ke studiu fyziky, mechaniky a dalších technických disciplín.
Prerekvizity
Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, posloupnosti a nekonečné číselné řady, základy funkčních řad, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení
Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičení. Splnění všech podmínek průběžné kontroly znalostí. Získání minimálně poloviny všech možných bodů z obou kontrolních prací. Pokud student tuto podmínku nesplní, lze v odůvodněných případech stanovit podmínku náhradní.
Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Klasifikační hodnocení zohledňuje výsledky písemné a ústní části zkoušky a také hodnocení ze cvičení.
Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře
(80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).
Učební cíle
Cílem předmětu je seznámit studenty se základy vícerozměrných, křivkových a plošných integrálů, základy Taylorových a Fourierových řad a představit základními pojmy a metody řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Úkolem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie integrálů, nekonečných řad a diferenciálních rovnic se uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Výuka probíhá dle týdenních plánů rozvrhů. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vedoucího cvičení.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program N-ENG-A: Mechanical Engineering, magisterský navazující, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
39 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Vícerozměrné integrály. Fubiniho věta. Transformace integrálů.
2. Křivky. Křivkové integrály. Nezávislost křivkového integrálu na integrační cestě. Greenova věta.
3. Plochy. Plošné integrály. Gaussova-Ostrogradského věta. Stokesova věta.
4. Mocninné řady. Taylorovy řady. Rozvoje funkcí v mocninné řady.
5. Trigonometrické Fourierovy řady. Konvergence a rozvoje funkcí.
6. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic (ODR) prvního řádu. Základní pojmy. Počáteční úloha. Struktura množiny řešení.
7. Metody řešení homogenních soustav lineárních ODR s konstantními koeficienty.
8. Nehomogenní soustavy lineárních ODR. Metoda variace konstant. Cauchyův vzorec.
9. Lineární ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty. Metody řešení.
10. Stabilita řešení ODR a jejich soustav. Laplaceova transformace a její použití pro ODR. Okrajové úlohy.
11. Numerické metody řešení ODR. Řešení ODR pomocí mocninných řad.
12. Parciální diferenciální rovnice (PDR). Zakladní pojmy. Klasifikace PDR druhého řádu.
13. Rovnice matematické fyziky. Metody řešení některých typů PDR.
Cvičení
26 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Derivace a integrály – opakování.
2. Vícerozměrné integrály.
3. Křivkové integrály.
4. Plošné integrály.
5. Mocninné řady.
6. Fourierovy řady.
7. Analytické metody řešení soustav lineárních ODR.
8. Analytické metody řešení soustav lineárních ODR (pokračování).
9. Analytické metody řešení lineárních ODR vyšších řádů.
10. Analytické metody řešení lineárních ODR vyšších řádů (pokračování).
11. Stabilita řešení ODR. Laplaceova transformace.
12. Numerické metody řešení ODR.
13. Analytické metody řešení PDR.