Detail předmětu
Matematická logika
FSI-SML Ak. rok: 2021/2022 Letní semestr
V předmětu budou systematicky vyloženy základy výrokové a predikátové logiky. Nejprve budou studenti seznámeni se syntaxí a sémantikou těchto logik, pak budou logiky studovány jako formální teorie s důrazem na problematiku dokazování formulí. Prodiskutovány budou také klasické věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti. Po probrání převodu formulí na prenexní tvar budou uvedeny některé vlastnosti a modely teorií 1. řádu. Pozornost bude také věnována nerozhodnutelnosti teorií 1. řádu vyplývající ze známých Gödelových vět o neúplnosti.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
5
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Po absolvování předmětu získají studenti schopnost chápání principů axiomatických matematických teorií i schopnost přesného (formálního) matematického vyjadřování. Naučí se také formálně odvozovat nové formule a dokazovat formule dané. Uvědomí si efektivitu formálního uvažování, ale také jeho hranice.
Prerekvizity
Předpokládá se znalost předmětů Obecná algebra a Metody diskrétní matematiky z balkalářského studia.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení je zaměřeno na praktické zvládnutí látky probrané na přednáškách.
Způsob a kritéria hodnocení
Podmínkou pro zápočet je aktivní účast ve cvičeních a prokázání znalostí
při písemných testech, které budou průběžně konány. Zkouška proběhne písemnou formou a je třeba u ní prokázat zvládnutí probrané teorie a schopnost řešit zadaný problém na základě získaných vědomostí.
Učební cíle
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními metodami uvažování v matematice. Studenti by si měli osvojit obecné principy predikátové logiky a získat tak schopnost přesného matematického uvažování a vyjadřování. Také by se měli naučit pracovat s některými dalšími důležitými formálními teoriemi využívanými v matematice a informatice.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Cvičení jsou povinná a vyučující bude pravidelně kontrolovat účast. V případě omluvené nepřítomnosti budou studentovi zadány příklady tak, aby se mohl zameškanou látku doučit.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program N-MAI-P: Matematické inženýrství, magisterský navazující, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Úvod do matematické logiky
2. Výroky a jejich pravdivost, logické spojky
3. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
4. Princip duality, aplikace výrokové logiky
5. Formální systém výrokové logiky
6. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
7. Jazyk predikátové logiky, termy a formule
8. Sémantika predikátové logiky
9. Formální systém predikátové logiky 1. řádu
10. Dokazatelnost v predikátové logice,
11. Prenexní tvar formulí, teorie 1. řádu a jejich modely
12. Věta o úplnosti a o kompaktnosti
13. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti
Cvičení
26 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1. Výroky, výrokové spojky, pravdivostní tabulky, tautologie a kontradikce
2. Princip duality, aplikace výrokové logiky
3. Úplné systémy a báze spojek výrokové logiky
4. Nezávislost logických spojek, axiomy výrokové logiky
5. Věta o dedukci a dokazování formulí výrokové logiky
6. Termy a formule predikátové logiky
7. Interpretace, splnitelnost a pravdivost
8. Axiomy a odvozovací pravidla predikátové logiky
9. Věta o dedukci a dokazování formulí v predikátové logice
10.Převody formulí na prenexní tvar
11.Teorie 1. řádu a jejich modely
12. Věta o úplnosti a o kompaktnosti
13. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti