Detail předmětu

Mathematical Analysis

FSI-UMA-A Ak. rok: 2022/2023 Zimní semestr

Předmět má seznámit studenty se základy teorie diferenciálních rovnic a dynamických systémů. Tyto poznatky tvoří teoretický základ potřebný pro matematické modelování ve fyzice, mechanice a jiných technických oborech.

Jazyk výuky

angličtina

Počet kreditů

7

Zajišťuje ústav

Výsledky učení předmětu

Po absolvování předmětu studenti zvládnou analyticky řešit obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů a soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Budou schopni posoudit otázku stability ekvilibrií (singulárních bodů) nelineárních autonomních soustav. Na vybraných úlohách z fyziky, mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic a s analýzou získaných rovnic.

Prerekvizity

Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Předmět je vyučován formou přednášek, které mají charakter výkladu základních principů a teorie dané disciplíny. Cvičení jsou zaměřena na praktické zvládnutí látky probírané na přednáškách.

Způsob a kritéria hodnocení

Podmínky udělení zápočtu: Semestrální práce obsahující řešení zadaných úloh; práce bude hodnocena. Aktivní účast ve cvičeních (pokud kurz neprobíhá formou konzultací).

Zkouška: Zkouška prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách) a praktickou dovednost při řešení příkladů. Zkouška se skládá z písemné a ústní části.

Do klasifikačního hodnocení se zahrnuje výsledek hodnocení semestrální práce (max. 15 bodů), výsledek písemného testu (max. 75 bodů) a hodnocení diskuze nad testem (max. 10 bodů).

Klasifikační hodnocení studenta: výborně (90-100 bodů), velmi dobře (80-89 bodů), dobře (70-79 bodů), uspokojivě (60-69 bodů), dostatečně (50-59 bodů), nevyhovující (0-49 bodů).

Učební cíle

Cílem předmětu je seznámit studenty se základními pojmy a metodami řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu a jejich speciálních případů, se základy teorie stability řešení autonomních soustav a s dalšími vybranými tématy z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Cílem předmětu je také ukázat, že poznatky z teorie obyčejných diferenciálních rovnic se velmi často uplatňují ve fyzice, technické mechanice i jiných oborech.

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.

Použití předmětu ve studijních plánech

Program N-ENG-A: Mechanical Engineering, magisterský navazující, povinný

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

39 hod., nepovinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu (opakování). Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) vyšších řádů. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních rovnic.


2. Metody řešení homogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty.
Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů – metoda variace konstant.


3. Řešení nehomogenních lineárních ODR vyšších řádů s konstantními koeficienty – metoda neurčitých koeficientů.


4. Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic prvního řádu. Základní pojmy. Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Obecné řešení homogenních a nehomogenních lineárních soustav.


5. Metody řešení homogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.


6. Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR – metoda variace konstant.


7. Řešení nehomogenních lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty – metoda neurčitých koeficientů.


8. Stabilita řešení obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav. Základní pojmy. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.


9. Autonomní soustavy ODR prvního řádu. Orbita a fázový portrét. Ekvilibrium a jeho stabilita. Linearizace.


10. Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí. Klasifikace ekvilibrií.


11. Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR. Topologická ekvivalence.


12. Matematické modelování v mechanice a biologii.


13. Další vybraná témata z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.

Cvičení

26 hod., povinná

Vyučující / Lektor

Osnova

1. Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) 1. řádu (opakování). Analytické metody řešení ODR vyšších řádů.


2. Analytické metody řešení ODR vyšších řádů – pokračování.


3. Analytické metody řešení ODR vyšších řádů – pokračování.


4. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu.


5. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu – pokračování.


6. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu – pokračování.


7. Analytické metody řešení soustav ODR prvního řádu – pokračování.


8. Stabilita lineárních soustav ODR s konstantními koeficienty.


9. Autonomní soustavy ODR prvního řádu.


10. Dvoudimenzionální lineární soustavy ODR s konstantní regulární maticí.

11. Dvoudimenzionální autonomní nelineární soustavy ODR.


12. Matematické modelování v mechanice a biologii.


13. Další vybraná témata z teorie obyčejných diferenciálních rovnic.