Detail předmětu
Parciální diferenciální rovnice
FSI-SPD Ak. rok: 2024/2025 Zimní semestr
Obsah předmětu je následující:
Parciální diferenciální rovnice – základní pojmy. Rovnice prvního řádu. Cauchyova úloha pro rovnici k-tého řádu. Transformace, klasifikace a kanonický tvar rovnic druhého řádu.
Odvození vybraných rovnic matematické fyziky (vedení tepla v tyči a tělese, kmitání struny, vlnová rovnice v prostředí dimenze 1, 2, 3 a odvození z variačního principu) formulace počátečních a okrajových úloh.
Klasické metody: metoda charakteristik, Fourierova metoda řad, metoda integrální transformace, metoda Greenovy funkce. Principy maxima. Vlastnosti řešení eliptických, parabolických a hyperbolických rovnic.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
5
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Řešení algebraických rovnic a soustav lineárních rovnic, diferenciální a integrální počet funkce jedné a více proměnných, obyčejné diferenciální rovnice.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
K získání zápočtu je nutné úspěšné napsání dvou kontrolních prací. Zkouška se skládá z písemné a ústní části.
Učební cíle
Cílem kurzu je seznámit posluchače s parciálními diferenciálními rovnicemi, jejich základními vlastnostmi a jejich použitím v matematickém modelování, naučit formulovat počáteční a okrajové úlohy modelující vybrané konkrétní fyzikální situace. Dalším cílem je seznámit studenty s klasickými metodami řešení a naučit řešit jednoduché úlohy pro rovnice matematické fyziky.
Prohloubení znalostí z obyčejných diferenciálních rovnic. Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic a přehled o možnostech jejich využití při matematickém modelování. Dovednost sestavit matematický model konkrétních vybraných fyzikálních situací a spočítat řešení, případně sestavit algoritmus pro výpočet řešení přibližného.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program B-MAI-P: Matematické inženýrství, bakalářský, povinný
Program C-AKR-P: Akreditované předměty v CŽV, celoživotní vzdělávání v akr. stud. programu
specializace CZS: Předměty zimního semestru, volitelný
Typ (způsob) výuky
Cvičení
26 hod., povinná
Vyučující / Lektor
Osnova
1. ODR, řešení rovnic 1. řádu a lineárních rovnic vyšších řádů.
2. Řešení lineárních soustav ODR, vyšetřování stability řešení.
3. Fázový portrét řešení a klasifikace singulárních trajektorií.
4. PDR, řešení rovnic 1. řádu.
5. Písemná práce 1, klasifikace rovnic 2. řádu.
6. Formulace konkrétních úloh pro rovnici vedení tepla.
7. Formulace počáteční okrajové úlohy pro vlnové rovnice.
8. Odvození rovnice průhybu membrány z variačního principu.
9. Výpočet řešení metodou charakteristik.
10. Výpočet řešení Fourierovou metoda řad.
11. Písemná práce 2.
12. Užití metody Greenovy funkce, harmonické funkce.
13. Vlastnosti řešení, zápočet.