Detail předmětu
Funkcionální analýza II
FSI-SU2-A Ak. rok: 2024/2025 Zimní semestr
Opakování látky z Funkcionální analýzy I. Teorie ohraničených lineárních operátorů.
Kompaktní množiny a operátory. Inverze a pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů.
Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy.
Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů.
Jazyk výuky
angličtina
Počet kreditů
4
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Diferenciální a integrální počet. Základy lineární algebry, Fourierovy analýzy a funkcionální analýzy.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Podmínkou k udělení zápočtu je aktivita na cvičení spočívající v řešení předepsaných úkolů/problémů, případně v samostatném hlubším zpracovaní vybraných témat.
Účast na cvičení je povinná. Zkouška v řádném termínu je písemná nebo ústní. Zkoušky v opravném nebo náhradním termínu pouze ústní. Cílem zkoušky je ověření základních teoretických znalostí studenta a jeho schopnosti získané poznatky samostatně a tvůrčím způsobem aplikovat.
Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.
Učební cíle
Seznámit posluchače s hlavními výsledky lineární funkcionální analýzy a jejich použitím při řešení úloh matematického modelovaní.
Znalost základů funkcionální analýzy, teorie prostorů a teorie lineárních operátorů. Znalost řešení úloh zejména v Hilbertových prostorech, znalost řešení úloh pomocí abstraktních Fourierových řad a Fourierovy transformace.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program N-AIM-A: Applied and Interdisciplinary Mathematics, magisterský navazující, povinný
Program N-MAI-A: Mathematical Engineering, magisterský navazující, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Osnova
1. Opakování: topologické, metrické, normované lineární a prostory s vnitřním součinem, přímý součet a faktorprostor
2. Opakování: duální prostory, spojité lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta, slabá konvergence
3. Opakování: Fourierovy řady, Fourierova transformace a konvoluce
4. Ohraničené lineární operátory a hlavní tvrzení o nich.
5. Adjungované a samodajungované operátory včetně ortogonální projekce
6. Rieszova věta o reprezentaci a Banach-Steinhausova věta
7. Unitární operátory, kompaktní množiny a kompaktní operátory
8. Inverze ohraničených lineárních operátorů v Banachově a Hilbertově prostoru
9. Pseudoinverze ohraničených lineárních operátorů v Hilbertově prostoru
10. Úplné systémy: ortonormální báze, Rieszovy báze a framy
11. Spektrální teorie samoadjungovaných kompaktních operátorů, Hilbertova-Schmidtova věta
12. Příklady a aplikace zejména z oblasti Fourierovy analýzy a zpracování signálů
13. Rezerva
Cvičení
13 hod., povinná
Osnova
Opakování látky z Funkcionální analýzy I. a procvičování látky z přednášek samostatným řešením vybraných úloh a problémů.