Detail předmětu
Funkcionální analýza I
FSI-SU1 Ak. rok: 2024/2025 Letní semestr
V předmětu se diskutují základní pojmy a principy funkcionální analýzy týkající se především metrických prostorů, lineárních normovaných prostorů (speciálně Banachových) a unitárních prostorů (speciálně Hilbertových). Zmíněny jsou i elementy Lebesgueova integrálu. Dále je ukázáno využití těchto pojmů při řešení některých úloh matematické analýzy a numerické matematiky.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
5
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Diferenciální počet, integrální počet, diferenciální rovnice, lineární algebra, elementy teorie množin, elementy numerické matematiky.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních (účast je povinná), úspěšné napsání testu.
Zkouška: Zkouška má ústní formu. Diskutována je teorie i příklady. Vyžaduje se orientace v probraných základních pojmech a principech disciplíny a ilustrace teorie v konkrétních situacích.
Bude kontrolována účast na cvičeních. V průběhu semestru bude psán test.
Učební cíle
Seznámit studenty a naučit je pracovat se základními pojmy a postupy funkcionální analýzy, které jsou využívány v dalších matematických disciplínách.
Základní znalost metrických, lineárních normovaných a unitárních prostorů, elementů Lebesgueova integrálu, teorie lineárních funkcionálů a souvisejících pojmů. Schopnost získané poznatky využívat.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program B-MAI-P: Matematické inženýrství, bakalářský, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Osnova
Metrické prostory
Základní pojmy a fakta. Uzavřené a otevřené množiny. Konvergence. Separabilní metrické prostory.
Úplné metrické prostory.
Zobrazení metrických prostorů. Banachova věta o pevném bodu. Aplikace.
Kompaktní prostory. Prekompaktnost a relativní kompaktnost. Arzeláova-Ascoliho věta.
Příklady.
Elementy teorie míry a integrálu
Motivace. Lebesgueova míra. Měřitelné funkce. Lebesgueův integrál.
Základní vlastnosti. Věty o limitních přechodech.
Lebesgueovy prostory.
Příklady.
Normované lineární prostory
Základní pojmy a fakta. Banachovy prostory.
Izometrie. Homeomorfismus.
Vliv dimenze prostoru.
Nekonečné řady v Banachových prostorech.
Schauderova věta a aplikace.
Příklady.
Unitární prostory
Základní pojmy a fakta. Hilbertovy prostory.
Izometrie. Ortogonalita. Ortogonální projekce,
Obecné Fourierovy řady. Rieszova-Fischerova věta.
Separabilní Hilbertovy prostory.
Příklady.
Lineární funkcionály, duální prostory
Pojem lineárního funkcionálu. Lineární funkcionály v normovaném prostoru.
Spojité a ohraničené funkcionály.
Hahnova-Banachova věta a její důsledky.
Duální prostor. Reflexivita.
Banachova-Steinhausova věta a její důsledky.
Slabá konvergence.
Příklady.
Speciální typy prostorů (v rámci probírané teorie), zejména prostory posloupností, prostory spojitých funkcí, prostory integrovatelných funkcí. Některé nerovnosti.
Cvičení
26 hod., povinná
Osnova
Procvičování látky z přednášek zejména na konkrétních příkladech prostorů konečné dimenze, prostorů posloupností a prostorů spojitých a integrovatelných funkcí.