Detail předmětu
Matematická logika
FSI-SML Ak. rok: 2025/2026 Letní semestr
V předmětu budou systematicky vyloženy základy výrokové a predikátové logiky. Nejprve budou studenti seznámeni se syntaxí a sémantikou těchto logik, pak budou logiky studovány jako formální teorie s důrazem na problematiku dokazování formulí. Prodiskutovány budou také klasické věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti. Po probrání převodu formulí na prenexní tvar budou uvedeny některé vlastnosti a modely teorií 1. řádu. Pozornost bude také věnována nerozhodnutelnosti teorií 1. řádu vyplývající ze známých Gödelových vět o neúplnosti.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
5
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Předpokládá se znalost předmětů Obecná algebra a Metody diskrétní matematiky z balkalářského studia.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Podmínkou pro zápočet je aktivní účast ve cvičeních a prokázání znalostí při písemných testech, které budou průběžně konány. Zkouška proběhne písemnou formou a je třeba u ní prokázat zvládnutí probrané teorie a schopnost řešit zadaný problém na základě získaných vědomostí.
Cvičení jsou povinná a vyučující bude pravidelně kontrolovat účast. V případě omluvené nepřítomnosti budou studentovi zadány příklady tak, aby se mohl zameškanou látku doučit.
Učební cíle
Cílem předmětu je seznámit studenty se základními metodami uvažování v matematice. Studenti si osvojí obecné principy predikátové logiky a získají tak schopnost přesného matematického uvažování a vyjadřování. Pochopí obecné principy konstruování matematických teorií a důkazů. Předmět přispěje studentům k osvojení si logického uvažování v matematice a tím i k lepšímu chápání matematických poznatků .
Po absolvování předmětu získají studenti schopnost chápání principů axiomatických matematických teorií i schopnost přesného (formálního) matematického vyjadřování. Naučí se také formálně odvozovat nové formule a dokazovat formule dané. Uvědomí si efektivitu formálního uvažování, ale také jeho hranice.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program N-MAI-P: Matematické inženýrství, magisterský navazující, povinný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NADE: Vývoj aplikací, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NBIO: Bioinformatika a biocomputing, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NCPS: Kyberfyzikální systémy, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NEMB: Vestavěné systémy, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NGRI: Počítačová grafika a interakce, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NHPC: Superpočítání, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NIDE: Inteligentní zařízení, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NISD: Informační systémy a databáze, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NISY: Inteligentní systémy, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NMAL: Strojové učení, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NMAT: Matematické metody, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NNET: Počítačové sítě, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NSEC: Kybernetická bezpečnost, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NSEN: Softwarové inženýrství, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NSPE: Zpracování zvuku, řeči a přirozeného jazyka, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NVER: Verifikace a testování software, volitelný
Program MITAI: Informační technologie a umělá inteligence, magisterský navazující
specializace NVIZ: Počítačové vidění, volitelný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., nepovinná
Osnova
1. Úvod do matematické logiky
2. Výroky a jejich pravdivost, logické spojky
3. Jazyk, formule a sémantika výrokové logiky
4. Princip duality, aplikace výrokové logiky
5. Formální systém výrokové logiky
6. Dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti
7. Jazyk predikátové logiky, termy a formule
8. Sémantika predikátové logiky
9. Formální systém predikátové logiky 1. řádu
10. Dokazatelnost v predikátové logice,
11. Prenexní tvar formulí, teorie 1. řádu a jejich modely
12. Věta o úplnosti a o kompaktnosti
13. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti
Cvičení
26 hod., povinná
Osnova
1. Výroky, výrokové spojky, pravdivostní tabulky, tautologie a kontradikce
2. Princip duality, aplikace výrokové logiky
3. Úplné systémy a báze spojek výrokové logiky
4. Nezávislost logických spojek, axiomy výrokové logiky
5. Věta o dedukci a dokazování formulí výrokové logiky
6. Termy a formule predikátové logiky
7. Interpretace, splnitelnost a pravdivost
8. Axiomy a odvozovací pravidla predikátové logiky
9. Věta o dedukci a dokazování formulí v predikátové logice
10.Převody formulí na prenexní tvar
11.Teorie 1. řádu a jejich modely
12. Věta o úplnosti a o kompaktnosti
13. Nerozhodnutelnost teorií prvního řádu, Gödelovy věty o neúplnosti