Detail předmětu
Obyčejné diferenciální rovnice v mechanice
FSI-SRM Ak. rok: 2025/2026 Zimní semestr
Předmět seznámí studenty se základy kvalitativní teorie obyčejných diferenciálních rovnic, zejména s otázkami existence, jednoznačnosti a prodloužitelnosti řešení počátečních úloh pro nelineární neautonomní soustavy diferenciálních rovnic prvního řádu. V rámci tohoto předmětu budou probrány také otázky stability řešení neautonomních soustav a jejich speciálních případů a základy teorie dynamických systémů. Budou také připomenuty základy klasické mechaniky (kinematika a dynamika hmotného bodu, tuhého tělesa a soustav tuhých těles, Lagrangeovy rovnice) potřebné k sestavení pohybových rovnic jednodušších mechanických soustav. Vybudovaný matematický aparát bude použit v analýze obyčejných diferenciálních rovnic objevujících se ve vybraných matematických modelech z mechaniky, přičemž v jejich analýze bude kladen důraz na přesnou matematickou argumentaci. Jedná se zejména o modely kmitání lineárních a nelineárních mechanických soustav s jedním i více stupni volnosti.
Jazyk výuky
čeština
Počet kreditů
6
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
V oblasti matematiky: Lineární algebra, diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných, integrální počet funkcí jedné proměnné, analytické metody řešení lineárních obyčejných diferenciálních rovnic a jejich soustav.
V oblasti mechaniky: Vektorové vyjádření sil a momentů. Principy uvolňování těles. Potenciální a kinetická energie.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Účast na přednáškách je doporučená, účast na cvičeních je povinná a kontrolovaná. Stanovení způsobů náhrady zmeškané výuky je v kompetenci vyučujícího.
Podmínky udělení zápočtu: Aktivní účast ve cvičeních, úspěšné absolvování písemného testu (tj. je potřeba získat alespoň polovinu z maximálního počtu bodů).
Zkouška: Bude probíhat ústní formou, prověřuje znalosti definic a vět (zejména schopnost jejich užití na vybraných úlohách). Detailní informace budou oznámeny na konci semestru.
Učební cíle
Cíl kurzu: Cílem předmětu je seznámit studenty se základy kvalitativní teorie obyčejných diferenciálních rovnic, dynamických systémů a analytické mechaniky. Úkolem je také studentům ukázat použití teoretických výsledků v analýze diferenciálních rovnic objevujících se v matematických modelech v mechanice, přičemž vhodně interpretovat získané poznatky, avšak dbát na korektní matematickou argumentaci.
Získané znalosti a dovednosti: Po absolvování předmětu studenti zvládnou použít teoretický matematický aparát v analýze diferenciálních rovnic objevujících se ve vybraných matematických modelech v mechanice. Budou schopni sestavit pohybové rovnice jednodušších mechanických soustav a posoudit otázku stability a typu ekvilibrií získaných obecně nelineárních autonomních soustav diferenciálních rovnic. Na vybraných úlohách z mechaniky i jiných disciplín se seznámí s možnostmi matematického modelování pomocí obyčejných diferenciálních rovnic.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program N-MAI-P: Matematické inženýrství, magisterský navazující, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
39 hod., nepovinná
Osnova
Stabilita řešení lineárních soustav ODR, Lyapunovy exponenty, stabilita řešení kvazilineárních soustav.
Počáteční úloha pro nelineární soustavy ODR: Existence, jednoznačnost a prodloužitelnost řešení.
Struktura množiny řešení počáteční úlohy pro nelineární soustavy ODR, integrální trychtýř.
Stabilita řešení nelineárních soustav ODR, přímá Lyapunovova metoda.
Autonomní soustavy ODR: Fázová trajektorie, fázový portrét, ekvilibrium a jeho stabilita.
Planární nelineární autonomní soustavy ODR: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, linearizace.
Hamiltonovské systémy, nelineární autonomní diferenciální rovnice 2. řádu.
Základní pojmy z kinematiky a dynamiky pohybu hmotného bodu a soustav bodových těles.
Kinematika a dynamika jednoduchých pohybů tuhých těles.
Úvod do analytické mechaniky, Lagrangeovy rovnice.
Lineární kmitání s 1 stupněm volnosti, různé druhy tlumení.
Nelineární kmitání s 1 stupněm volnosti, matematické a fyzikální kyvadlo.
Lineární a kmitání s více stupni volnosti.
Modelování pohybu dislokací v krystalech.
Cvičení
13 hod., povinná
Osnova
Analytická řešení vybraných typů nelineárních ODR 1. řádu.
Stabilita lineárních soustav ODR s konstantní maticí, Hurwitzovo kritérium.
Implicitní diferenciální rovnice: Lagrangeova a Clairotova rovnice.
Geometrické úlohy vedoucí k analytickému řešení ODR.
Eulerova diferenciální rovnice v řešení napjatosti tlustostěnných nádob a deformace kruhové desky.
Základní pojmy z kinematiky a dynamiky pohybu hmotného bodu a soustav bodových těles.
Kinematika a dynamika jednoduchých pohybů tuhých těles.
Rovnice řetězovky.
Planární autonomní soustavy: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, fázový portrét.
Nelineární autonomní diferenciální rovnice 2. řádu: Stabilita a klasifikace ekvilibrií, fázový portrét.