Detail předmětu
Invarianty a symetrie
FSI-9ISY Ak. rok: 2025/2026 Letní semestr
Předmět je zaměřen na užití geometrických metod v problémech diferenciálních rovnic a fyziky. Studium symetrií a problémů s ekvivalencí vyžaduje řadu nástrojů a technik, z nichž mnohé mají svůj původ v diferenciální geometrii. Proto naše studium diferenciálních rovnic a variačních problémů bude mít v podstatě geometrický charakter, na rozdíl od analytických metod. Začneme diferenciálními varietami a Lieovými grupami, podstatná bude metoda pohyblivých reperů. Budeme se soustředit jak na globálně geometrický pohled, tak také i na výpočty v lokálních souřadnicích. Zvláštní pozornost bude věnována nelineárním problémům. Budeme studovat také kalibrační invarianty v souvislosti s Maxwellovými rovnicemi a dále s kvantovou teorií pole.
Jazyk výuky
čeština
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Znalosti z lineární algebry a algebry, zejména z vektorových prostorů a teorie grup.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Ústní zkouška prověří znalosti základních pojmů a vět a praktickou dovednost při řešení geometrických a fyzikálních úloh.
Přednášky: doporučené
Učební cíle
Cílem je zvládnout nástroje diferenciální geometrie pro řešení problémů invariance v aplikacích.
Student bude mít přehled o základních pojmech a výsledcích moderní diferenciální geometrie. Bude schopen je využívat v problémech řešení diferenciálních rovnic, problémech variačního počtu a fyziky.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program D-APM-P: Aplikovaná matematika, doktorský, doporučený kurs
Typ (způsob) výuky
Přednáška
20 hod., nepovinná
Osnova
1. Hladké variety, vektorová pole
2. Distribuce a foliace
3. Lieovy grupy a algebry
4. Reprezentace
5. Jety a kontaktní elementy
6. Diferenciální invarianty
7. Symetrie diferenciálních rovnic
8. Vybrané nelineární problémy
9. Klasická a kvantová teorie pole
10. Kalibrační invarianty