Detail předmětu
Numerická matematika II
FSI-9NM2 Ak. rok: 2025/2026 Letní semestr
Kurz je věnován numerickému řešení diferenciálních rovnic. Nejdříve jsou vyloženy metody pro řešení počátečních úloh (jednokrokové Rungovy-Kuttovy metody, lineární mnohokrokové metody (Adamsovy a zpětného derivování), řešení soustav se silným tlumením). Následují metody řešení okrajových úloh (diferenční metoda, metoda konečných objemů a metoda konečných prvků). Principy metod jsou vysvětleny na 1D okrajové úloze druhého řádu. Hlavní pozornost je věnována metodě konečných prvků ve 2D. Uvažují se tyto modelové úlohy: eliptická (stacionární vedení tepla), parabolická (nestacionární vedení tepla) a hyperbolická (kmitání membrány včetně problému vlastních čísel).
Jazyk výuky
čeština
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Lineární algebra, vektorový počet, integrální a diferenciální počet, základy programování.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Zkouška je ústní. U zkoušky je položena jedna otázka z okruhu numerického řešení počátečních úloh pro řešení obyčejných diferenciálních rovnic a další jedna až dvě otázky z okruhu numerického řešení rovnic parciálních (z nich jedna vždy na metodu konečných prvků). Důraz je kladen na pochopení podstaty metod, formule není třeba znát zpaměti, je však třeba jim rozumět a umět pomocí nich vyložit "jak metoda pracuje".
Účast na přednáškách je žádoucí, nikoliv však povinná.
Učební cíle
Smyslem kurzu je naučit posluchače základní principy moderních výpočtových metod používaných pro řešení úloh popsaných diferenciálními rovnicemi. To jim umožní, aby si správně vybrali z neobyčejně široké nabídky hotových programů nabízených na trhu (výjimečně aby si takový program sami napsali) a aby tyto programy uměli s rozmyslem a efektivně využívat.
Mnoho inženýrských problémů vede na řešení diferenciálních rovnic, obyčejných nebo parciálních. Dovednosti získané v tomto kurzu vybaví jeho absolventy nezbytným minimem znalostí základních výpočetních technik používaných v současných programových systémech určených pro řešení diferenciálních rovnic.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program D-ENE-P: Energetické inženýrství, doktorský, doporučený kurs
Typ (způsob) výuky
Přednáška
20 hod., nepovinná
Osnova
Předmět má 10 dvohodinových přednášek.
1. Rungovy-Kuttovy: základní pojmy (diskretizační chyba, stabilita,...), formule řádu 1 a 2.
2. Další Rungovy-Kuttovy formule (řádů 3-5), řízení délky kroku.
3. Adamsovy metody, technika prediktor-korektor.
4. Metody zpětného derivování. Stiff systémy ODR.
5. Metody: diferenční, konečných objemů, konečných prvků v 1D.
6. Stacionární 2D úloha: klasická a variační formulace, lineární trojúhelníkový element.
7. Matice tuhosti, vektor zatížení.
8. Sestavení soustavy rovnic. Minimalizační formulace.
9. Nestacionární 2D úlohy : vedení tepla, kmitání membrány, vlastní čísla.
10. Izoparametrické prvky.