Detail předmětu
Matematické modelování kontinua
FSI-9MMK Ak. rok: 2025/2026 Zimní semestr
Pojem kontinua a jeho popis, souřadnice, veličiny a formulace úloh. Matematické prostředky: diferenciální rovnice, klasické, zobecněné a přibližné řešení. Prostory integrovatelných funkcí a integrální funkcionály.
Odvození rovnic kondukce, lineární a nelineární pružnosti. Pružné, vazké a plastické chování. Modelování heterogenního materiálu, homogenizace a sdružené úlohy.
Mechanika tekutin, odvození rovnic přenosu a Navierových-Stokesových rovnic. Sdružené úlohy: proudění s tepelnými jevy.
Existence, jednoznačnost a stabilita zobecněných řešení. Podmínky existence minima integrálního funkcionálu. Základní numerické metody: konečných prvků a konečných objemů, adaptivní metody.
Jazyk výuky
čeština
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Vektory a matice, diferenciální a integrální počet více proměnných, obyčejné diferenciální rovnice. Vhodné absolvování předmětu 9RF1 Rovnice matematické fyziky.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Zkouška se skládá z praktické a teoretické části. Praktická část: matematická formulace konkrétní inženýrské úlohy. Teoretická část: 3-5 otázek z probrané látky. V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.
Učební cíle
Cílem kurzu je seznámit posluchače s matematickým modelováním pomocí parciálních diferenciálních rovnic širšího spektra inženýrských úloh pro kontinuum: pružnost, kondukce, konvekce, lineární i nelineární modely a sdružené úlohy. Naučit studenty formulovat základní úlohy včetně počátečních a okrajových a dalších podmínek, vědět, kde jsou zdroje chyb. Připravit je tak ke kritickému přístupu k využívání výpočetních systémů např. MATLAB, ANSYS, atd.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program D-APM-P: Aplikovaná matematika, doktorský, doporučený kurs
Typ (způsob) výuky
Přednáška
20 hod., nepovinná
Osnova
Přednášky
- Pojem kontinua a jeho popis, souřadnice a veličiny, druhy úloh.
- Matematické prostředky: diferenciální rovnice, klasická a zobecněná řešení.
- Zákony zachování a konstituční vztahy. Lineární úlohy, odvození rovnice vedení tepla v tělese, formulace počáteční okrajové úlohy.
- Popis deformace a napětí v tělese, lineární a nelineární pružnost, Piolova transformace. Sdružené úlohy.
- Minimalizace integrálního funkcionálu, podmínky zobecněné konvexnosti.
- Heterogenní materiál: podmínky přechodu, homogenizace.
- Modely pružného, vazkého a plastického materiálu – hystereze.
- Modelování tekutin: souřadnice, veličiny. Odvození rovnic přenosu hmoty a tepla a Navierových Stokesových rovnic.
- Zobecněná formulace rovnic proudění.
- Metoda konečných prvků a konečných objemů, adaptivní metody.