Prezenční studium

4 roky

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Předseda :
prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.
Člen interní :
prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.
prof. Ing. Ivan Křupka, Ph.D.
prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.
doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D.
prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.
Člen externí :
doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D.
prof. RNDr. Jan Paseka, CSc.
prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
doc. RNDr. Tomáš Dvořák, CSc.

Doktorský studijní program Aplikovaná matematika významně prohloubí vědomosti studentů získané při studiu navazujícího magisterského studijního programu Matematické inženýrství na FSI VUT v Brně a dalších magisterských programů zaměřených na matematiku a její aplikace. Studenti tohoto doktorského programu mohou získat hluboké znalosti příslušného matematického aparátu ve všech oblastech aplikované matematiky, a to ve vazbě na řešení náročných úloh praxe (především technické). Tomu je také přizpůsobena nabídka odborných předmětů doktorského studijního programu Aplikovaná matematika, zahrnující předměty hlubšího teoretického základu, předměty související s aplikacemi matematiky, a konečně také předměty se speciálním inženýrským zaměřením.
Témata doktorských prací jsou vypisována především pracovníky Ústavu matematiky, přičemž podle povahy tématu mohou být zapojeni i odborníci z dalších ústavů FSI či jiných vědeckých institucí, a to jako školitelé-specialisté. Během svého doktorského studia se studenti stávají členy vědeckých týmů, které vede (nebo v nichž působí) vedoucí jejich práce. Zadané téma doktorské práce je pak obvykle součástí komplexnějšího problému, který tento tým řeší v rámci různých odborných projektů. Studenti se tak postupně naučí všem základním zásadám vědecké práce, především vytváření odborných textů a jejich publikování ve vědeckých časopisech, a prezentaci výsledků své vědecké práce na seminářích či konferencích. Samozřejmostí je přitom spolupráce se zahraničními pracovišti, kde studenti mohou získat další užitečné zkušenosti. Po úspěšném složení předepsané státní doktorské zkoušky, která prověřuje jednak znalosti teoretických základů potřebných ke zvládnutí tématu, ale také stav rozpracovanosti disertační práce a směr výzkumu prováděného v jejím rámci, se studenti zaměřují především na dokončení své práce. Pro její předložení k obhajobě musejí splnit požadavky související především s publikační aktivitou, jejichž smyslem je zajistit, aby disertační práce předložené k obhajobě v tomto studijním programu byly na srovnatelné úrovni s obhájenými pracemi na ostatních matematických pracovištích v ČR i v zahraničí. Po obhájení doktorské práce získávají studenti titul Ph.D.
Hlavním cílem tohoto doktorského studijního programu je vychovat odborníky v oblasti aplikované matematiky, kteří budou schopni pokračovat ve vědecké dráze započaté v rámci svého doktorského studia. Prostředkem k naplnění tohoto cíle je rozšíření vědomostí studentů o netriviální matematické nástroje potřebné pro modelování a řešení problémů praxe, a také prohloubení principů jejich matematického, logického a kritického myšlení.

Absolvent získá hluboké odborné znalosti z řady speciálních oblastí moderní aplikované matematiky, se zaměřením na vybrané partie analýzy obrazů, počítačové grafiky, aplikované topologie, 3D rekonstrukce a vizualizace obrazů, spojitých a diskrétních dynamických systémů, a pokročilých statistických metod. Bude mít také vysoký stupeň geometrického vnímání problémů s vazbou na inženýrské aplikace. Získá rovněž kvalitní znalosti z inženýrských disciplín souvisejících s tématem práce, a bude umět pracovat s moderními programovacími nástroji (Python, C++,...). Samozřejmostí je jazykové vybavení umožňující odbornou spolupráci se zahraničními pracovišti a prezentaci získaných výsledků na mezinárodním fóru.

V rámci své odborné způsobilosti absolvent umí vytvářet matematické modely inženýrských úloh a podle jejich charakteru vyhledávat a rozpracovávat vhodné matematické nástroje a postupy pro jejich řešení. Na vysoké úrovni umí používat matematický software a má osvojené programátorské dovednosti. V širším smyslu je absolvent schopen se podílet na řešení náročných úloh v oblasti technické praxe.

Z hlediska obecnějších dovedností je absolvent schopen samostatné tvůrčí vědecké práce. Osvojí si zásady týmové práce na vysoké odborné úrovni. Naučí se tým řídit po stránce odborné i administrativní, bude se orientovat také v projektové problematice. Může působit i jako matematik v multidisciplinárních týmech. Je schopen se na řešení výzkumných problémů nejen podílet, ale umí sám aktuální vědecké problémy vyhledávat a formulovat. Umí výsledky své práce prezentovat, a to jak formou vědeckých publikací, tak formou odborných přednášek.

Absolvent bude mít rozvinutou schopnost analytického myšlení, což mu v kombinaci se znalostí pokročilých metod aplikované matematiky a výpočetních technologií umožní bezproblémové zapojení do vědeckých týmů na různých typech akademických pracovišť, či v aplikační sféře.

Absolventi nacházejí široké uplatnění na trhu práce pro svoji adaptabilnost, která je umožněna rozsáhlými znalostmi aplikované matematiky. Zájem o tyto absolventy projevují firmy zabývající se vývojem na poli autonomních systémů, robotiky, automatizace či obrazové analýzy, a dále instituce zabývajících se vědou, výzkumem a inovacemi v oblasti informatiky, techniky, řízení kvality, finanční sféře a oblasti zpracování dat. Významné uplatnění nacházejí absolventi tohoto doktorského studijního programu také v akademické sféře. Kromě Ústavu matematiky FSI (mezi jehož zaměstnanci dosahuje podíl absolventů doktorského studijního programu Aplikovaná matematika téměř jedné čtvrtiny) pracují v současné době tito absolventi jako akademičtí pracovníci na dalších ústavech FSI, na dalších fakultách VUT i na dalších vysokých školách. Přetrvávající zájem o tyto absolventy je dán, kromě adaptibility v různých oblastech aplikované matematiky, především jejich vědeckou erudicí (v řadě případů jsou tito absolventi již habilitováni, a ve stále více sledovaných ukazatelích publikační aktivity jsou často na špičce příslušných vzdělávacích institucí).

Viz platné předpisy, Směrnice děkana Pravidla pro organizaci studia na fakultě (doplněk Studijního a zkušebního řádu VUT v Brně).

Pravidla a podmínky pro tvorbu studijních programů určují:
ŘÁD STUDIJNÍCH PROGRAMŮ VUT,
STANDARDY STUDIJNÍCH PROGRAMŮ VUT,
STUDIJNÍ A ZKUŠEBNÍ ŘÁD VUT,
SMĚRNICE DĚKANA Pravidla pro organizaci studia na fakultě (doplněk Studijního a zkušebního řádu VUT v Brně),
SMĚRNICE DĚKANA FSI Jednací řád oborových rad doktorských studijních programů FSI VUT v Brně.
Studium v DSP se neuskutečňuje v kreditovém systému. Klasifikační stupně jsou „prospěl“, „neprospěl“, u obhajoby disertační práce je výsledek „obhájil“, „neobhájil“.

Na VUT jsou zohledněny potřeby rovného přístupu k vysokoškolskému vzdělávání. V přijímacím řízení ani ve studiu nedochází k přímé či nepřímé diskriminaci z žádných důvodů. Studujícím se specifickými vzdělávacími potřebami (poruchy učení, fyzický a smyslový handicap, chronická somatická onemocnění, poruchy autistického spektra, narušené komunikační schopnosti, psychická onemocnění) je poskytováno poradenství v poradenském centru VUT, které je součástí Institutu celoživotního vzdělávání VUT. Podrobně tuto problematiku řeší Směrnice rektora č. 11/2017 „Uchazeči a studenti se specifickými potřebami na VUT“. Rovněž je vytvořen funkční systém sociálních stipendií, který popisuje Směrnice rektora č. 71/2017 „Ubytovací a sociální stipendium“.

Doktorský studijní program Aplikovaná matematika navazuje na navazující magisterský studijní program Matematické inženýrství, který je akreditován (a vyučován) na FSI VUT v Brně.

1. Aplikace geometrických algeber v inženýrství

   Geometrické algebry (GA) jsou úspěšně aplikovány v mnoha oblastech teoretických i inženýrských. Ve druhém případě se jedná o analýzu obrazu, počítačové vidění, strojové učení, robotiku, řízení a jiné, včetne konstrukcí neuronových sítí. Stále se objevují specifické algebry vhodné pro konkrétní oblast, takže kromě standardní konformní GA je zkoumána GA pro kuželosečky nebo naopak projektivní GA pro práci s přímkami a rovinami. Struktura musí být vhodná nejen pro efektivní popis problému, ale musí přinášet i výhody ve snížení výpočetní složitosti a časové náročnosti. Výzkum bude probíhat v týmu s mezinárodní spoluprací a povede ke komplexnímu popisu konkrétní aplikace, vybrané struktury, implementaci a demonstraci vhodnosti zvoleného aparátu.

   Školitel: Vašík Petr, doc. Mgr., Ph.D.

2. Asymptotika a oscilace nelineárních dynamických rovnic reálných řádů

   Budeme studovat kvalitativní vlastnosti různých typů nelineárních diferenciálních rovnic celočíselných i neceločíselných řádů. Pozornost bude věnována mj. odvozování asymptotických formulí, které výrazně zpřesní informace o chování řešení, či hledání kritérií pro oscilaci. Dále se chceme soustředit na studium (nových) jevů, které se vyskytují u rovnic s neceločíselným řádem. Budeme uvažovat nejen rovnice diferenciální, ale i jejich diskrétní (či časově škálové analogie). To umožní mj. lépe pochopit a vysvětlit podobnosti či nesrovnalosti mezi spojitým případem a jeho nějakou diskretizací, získat rozšíření na nové škály, či obdržet nové výsledky např. v klasickém diskrétním případě prostřednictvím vhodné transformace na jinou časovou škálu. Je dále očekáváno, že výsledky se uplatní i z hlediska teorie stability.

   Školitel: Řehák Pavel, prof. Mgr., Ph.D.

3. Diferenciální rovnice v teorii řízení

   Teorie řízení představuje významnou aplikační oblast diferenciálních rovnic. V rámci této teorie se studují standardní i nové typy diferenciálních rovnic, modelujících dynamiku řízených systémů. Důležitými regulačními parametry jsou mj. časové zpoždění odezvy řízeného systému, a také jeho řád. Mezi základní studované otázky pak patří stabilizace, destabilizace, synchronizace, optimalizace a chaotifikace těchto řízených systémů. Téma studia se zaměří na analýzu těchto vlastností pro odpovídající typy diferenciálních rovnic, a na související numerické a grafické simulace.

   Školitel: Čermák Jan, prof. RNDr., CSc.

4. Duální čísla, Weilovy algebry a aplikace

   Téma doktorského studia je zaměřeno na výzkum v oblasti aplikací faktorových algeber polynomů více neurčitých, kde prototypálním případem je algebra duálních čísel široce užívaná v kinematice. Obecnějším modelem jsou Weilovy algebry hrající významnou roli v diferenciální geometrii. Zde zejména případ nehomogenních ideálů nebyl dosud systematicky zkoumán a výzkum v této oblasti tak představuje nový a náročný vědecký výzkum. V neposlední řadě se lze zaměřit na speciální podokruhy uvedených algeber, které se ukazují být vhodné například pro užití v mřížových kryptosystémech.

   Školitel: Kureš Miroslav, doc. RNDr., Ph.D.

5. Dynamické vlastnosti konformní geometrické algebry.

   Konformní geometrická algebra umožňuje pracovat s Eukliedovskou geometrii rozšířenou s sféry. Objekty jsou realizivány jako prvky v algebře až na násobek (v projektivní třídě). Velikost daného objektu ale obsahuje nějakou informaci navíc která může být využita při analýze dynamického chování objektu. Například přímka je tvořena dvěma body, ale wedge těchto dvou bodů a nekonečna v sobě nese navíc informaci o jejich vzdálenosti. Cílem práce je prozkoumat využití této skutečnosti s ohledem na tradiční i nové aplikace CGA.

   Školitel: Hrdina Jaroslav, doc. Mgr., Ph.D.

6. Funkcionální diferenciální rovnice

   Funkcionální diferenciální rovnice jsou zobecněním obyčejných diferenciálních rovnic. Speciálním případem těchto rovnic jsou rovnice se zpožděným argumentem. Jejich předností je to, že v některých případech mohu popsat reálné situace lépe než obyčejné diferenciální rovnice. Kromě rovnice se zpožděním se budeme zabývat také rovnicemi se zrychleným argumentem, které ve známé literatuře tak intenzivně studovány nejsou. Zaměříme se hlavně na analýzu kvalitativních vlastností konkrétních funkcionálních diferenciálních rovnic, které se mohou objevit v reálných modelech. Konkrétně budeme zkoumat oscilatorické vlastnosti řešení uvažovaných rovnic.

   Školitel: Opluštil Zdeněk, doc. Mgr., Ph.D.

7. Geometrické optimální řízení na Lieových grupách

   Lieovy grupy a algebry jsou matematické struktury, které se přirozeně objevují v teorii řízení. Reprezentují symetrie daného dynamického systému nebo symetrie jeho aproximace. Tyto symetrie lze využít k zjednodušení příslušných diferenciálních rovnic, ke geometrické diskretizaci a stabilnějšímu numerickému řešení.

   Školitel: Návrat Aleš, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D.

8. Integrovaná vnořená Laplaceova aproximace ve statistickém usuzování

   Statistické usuzování v některých modelech s latentními proměnnými není možné řešit přímo analyticky, ale pouze aproximací. Přístupů k aproximaci je několik, vedle časově náročného MCMC je to například Integrovaná vnořená Laplaceova aproximace. Cílem studia by bylo prozkoumat možnosti a ověřit vlastnosti užití integrované vnořené Laplaceovy aproximace v různých modelech.

   Školitel: Hübnerová Zuzana, doc. Mgr., Ph.D.

9. Matematické metody zpracování dat spektrální rentgenové výpočetní tomografie

   Spektrální výpočetní tomografie (SpCT) umožňuje kvantitativní nedestruktivní měření chemického složení vzorků. Tato modalita je známá v medicínské sféře a před nedávnem se začala uplatňovat i v biologii, geologii a materiálové vědě. Zde má SpCT potenciál zlepšit existující metody zpracování obrazu a současně umožnit zcela nové přístupu k analýze vzorků skrze poskytnutí trojrozměrné informace o jejich vnitřní distribuci atomového čísla, koncentrace určitých látek, či hustoty. Tyto údaje pak lze korelovat s jinými zobrazovacími modalitami a známými parametry vzorků, což ze SpCT činí velmi unikátní a užitečný nástroj. Praktické aplikace SpCT však díky relativní novosti této modality mimo oblast medicíny stále vyžadují notné množství vývoje. Toto téma se zabývá právě využitím SpCT pro kvantitativní měření v materiálové vědě a podobných mezioborových disciplínách a spojuje tak matematickou teorii s fyzikou a moderním inženýrstvím.

   Školitel: Štarha Pavel, doc. Ing., Ph.D.

10. Některé typy Lieových grup a jejich fyzikální aplikace

    Student se bude věnovat obecným vlastnostem některých typů Lieových grup, zejména jetových. V obecnější rovině budou studovány nilpotentní a řešitelné grupy. Značná pozornost bude věnována i fyzikálním aplikacím, zejména v mechanice kontinua.

    Školitel: Tomáš Jiří, doc. RNDr., Dr.

11. Nelineární dynamické systémy a jejich aplikace

    Nelineární dynamické systémy (spojité či disktrétní) obecně vykazují komplikovanější chování něž systémy lineární. Typickým jevem je, že se při změně hodnoty parametru systému může zcela dojít ke změně kvalitativního chování systému, dochází k tzv. bifurkacím. Tyto bifurkace např. mohou vést až k velmi složitému chování, které se nazývá deterministický chaos, a to i přesto, že systém je dán velmi jednoduše vypadající soustavou diferenciálních rovnic. Poslední zhruba dvě dekády zažívá zájem o dynamické systémy určitou renesanci v tom smyslu, že se do popředí dostávají modely reflektující historii stavu, ať už prostřednictvím zpožděného argumentu nebo prostřednictvím tzv. zlomkové derivace. Ukázalo se totiž, že takové modely dokážou v mnoha situacích vystihnout realitu lépe. Téma doktorského studia je zaměřeno na analýzu vybraných matematických modelů využívajících soustav nelineárních rovnic (ať už diferenciálních, nebo diferenčních), přičemž se nabízí vzít v potaz také rovnice zlomkové (tj. neceločíselného řádu) a zpožděné (teoretické poznatky z poslední doby umožňují hlubší analýzu takových úloh, která dříve nebyla možná). Z konkrétních aplikací je pak možné zaměřit se na modely mající využití v letectví nebo teorii řízení.

    Školitel: Nechvátal Luděk, doc. Ing., Ph.D.

12. Numerické algoritmy pro zlomkové diferenciální rovnice

    Téma studia je zaměřeno na numerickou analýzu počátečních problémů pro zlomkové diferenciální rovnice. Vzhledem k četným inženýrským aplikacím zaznamenává teorie zlomkových diferenciálních rovnic velkého vědeckého zájmu. V současnosti je již popsána řada metod, které řeší zlomkové diferenciální rovnice. Vzhledem k povaze numerických schémat se často potýkáme s velkou časovou náročností výpočtu. Náplní práce bude vedle rešeršní a analytické činnosti i návrh a realizace efektivních implementací numerických metod (s možností paralelizace výpočtů) ve vhodném výpočetním prostředí (Python).

    Školitel: Tomášek Petr, doc. Ing., Ph.D.

13. Periodická řešení nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu

    Budeme se věnovat otázkám existence a stability periodických řešení obyčejných nelineárních diferenciálních druhého řádu. Zaměříme se zejména na rovnice, které se vyskytují v matematických modelech některých procesů v mechanice. Typickým představitelem takových rovnic je neautonmní Duffingova diferenciální rovnice, kterou získáme například při aproximaci nelinearit v pohybových rovnicích některých buzených oscilátorů.

    Školitel: Šremr Jiří, doc. Ing., Ph.D.

14. Racionalní pohyby v kinematice prostředky geometrických algeber.

    Geometrické algebry jako zobecnění kvaternionů se běžně využívají na problémy dopředné i inverzní kinematiky. Neřeší se ale příliš vlastní trajektorie navrženého pohybu. Cílem práce je otevřít toto téma a to především z ohledem na racionalitu výsledných křivek pohybu, která je z implemntačního hlediska podstatná.

    Školitel: Hrdina Jaroslav, doc. Mgr., Ph.D.

15. Topologické a kombinatorické metody pro studium souvislosti v digitální rovině a prostoru

    Náplní tématu bude hledání a studium vhodných strukturací digitální roviny pomocí prostředků teorie grafů a obecné topologie. Půjde o strukturace umožňující definice souvislosti a poskytujícího digitální analogie Jordanovy věty. Výzkum je motivován využitím zíkaných výsledků pro řešení problémů zpracování digitálních obrazů.

    Školitel: Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc.