Detail předmětu
Aplikovaná harmonická analýza
FSI-9AHA Ak. rok: 2024/2025 Letní semestr
Obecná teorie generujících systémů v Hilbertových prostorech: ortonormální báze (ONB), Rieszovy báze (RB), frejmy (angl frames) a reprodukční jádra.
Související operátory (rekonstrukční, diskretizační aj.). Vlastnosti a charakterizační věty. Kanonická dualita. Užitečné konstrukce a algoritmy založené na užití teorie pseudoinverzních operátorů. Speciální frejmy (Gabor, wavelet) a jejich aplikace.
Jazyk výuky
čeština
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Vstupní znalosti
Lineární algebra, diferenciální a integrální počet, lineární funkcionální analýza.
Pravidla hodnocení a ukončení předmětu
Seminární referáty nebo ústní zkouška.
Při nepřítomnosti nutnost doplnit probíranou látku samostudiem případně domácími úkoly.
Učební cíle
Seznámit posluchače doktorského studia s posledními výsledky moderní harmonické analýzy a možnostmi jejich využití při řešení praktických úloh funkcionálního modelování v abstraktních prostorech, zejména l^2(J) (prostory diskrétních signálů včetně obrazů), L^2(R) (prostory analogových signálů) a L^2(Omega;A;P) (stochastické lineární modely časových řad). Pozornost bude také věnována problematice hledání numericky stabilních řídkých řešení v modelech s velkým množstvím parametrů.
Získání základů z moderní teorie harmonické analýzy. Osvojení dovedností, které umožní studentům doktorského studia efektivní využití těchto přístupů při modelování a výzkumu reálných systémů s využitím výpočetní techniky.
Použití předmětu ve studijních plánech
Program D-APM-P: Aplikovaná matematika, doktorský, doporučený kurs
Program D-APM-K: Aplikovaná matematika, doktorský, doporučený kurs
Typ (způsob) výuky
Přednáška
20 hod., nepovinná
Osnova
Volitená témata dle zaměření doktorského studia studentů:
1. Pseudoinverzní operátory v Hilbertových prostorech
2. Přechod od ortonormálních bází (ONB) k Rieszovým bázím (RB) a frejmům
3. Diskretizační, rekonstrukční, korelační a frejmový operátor
4. Charakterizace ONB, RB a frejmů. Princip duality
5. Hilbertovy prostory s reprodukčním jádrem
6. Vybrané algoritmy řešení inverzních úloh, problém numerické nestability při přeparametrizování (overcomplete frames)
7. Některé speciální prostory a jejich vlastnosti
8. Některé speciální operátory a jejich vlastnosti
9. Gaborovy frejmy
10. Waveletové frejmy
11. Analýza víceúrovňového rozlišení (angl. Multiresolution analysis)
12. Rezerva
Seminář: formou referátů studentů k tématům přidělených k samostudiu pokud možno ve vazbě na téma dizertační práce