Prezenční studium

4 roky

prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.

Předseda :
prof. RNDr. Jan Čermák, CSc.
Člen interní :
prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.
prof. Ing. Ivan Křupka, Ph.D.
prof. RNDr. Miloslav Druckmüller, CSc.
doc. Mgr. Petr Vašík, Ph.D.
prof. RNDr. Miroslav Doupovec, CSc., dr. h. c.
Člen externí :
doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D.
prof. RNDr. Jan Paseka, CSc.
prof. RNDr. Roman Šimon Hilscher, DSc.
doc. RNDr. Tomáš Dvořák, CSc.

Doktorský studijní program Aplikovaná matematika významně prohloubí vědomosti studentů získané při studiu navazujícího magisterského studijního programu Matematické inženýrství na FSI VUT v Brně a dalších magisterských programů zaměřených na matematiku a její aplikace. Studenti tohoto doktorského programu mohou získat hluboké znalosti příslušného matematického aparátu ve všech oblastech aplikované matematiky, a to ve vazbě na řešení náročných úloh praxe (především technické). Tomu je také přizpůsobena nabídka odborných předmětů doktorského studijního programu Aplikovaná matematika, zahrnující předměty hlubšího teoretického základu, předměty související s aplikacemi matematiky, a konečně také předměty se speciálním inženýrským zaměřením.
Témata doktorských prací jsou vypisována především pracovníky Ústavu matematiky, přičemž podle povahy tématu mohou být zapojeni i odborníci z dalších ústavů FSI či jiných vědeckých institucí, a to jako školitelé-specialisté. Během svého doktorského studia se studenti stávají členy vědeckých týmů, které vede (nebo v nichž působí) vedoucí jejich práce. Zadané téma doktorské práce je pak obvykle součástí komplexnějšího problému, který tento tým řeší v rámci různých odborných projektů. Studenti se tak postupně naučí všem základním zásadám vědecké práce, především vytváření odborných textů a jejich publikování ve vědeckých časopisech, a prezentaci výsledků své vědecké práce na seminářích či konferencích. Samozřejmostí je přitom spolupráce se zahraničními pracovišti, kde studenti mohou získat další užitečné zkušenosti. Po úspěšném složení předepsané státní doktorské zkoušky, která prověřuje jednak znalosti teoretických základů potřebných ke zvládnutí tématu, ale také stav rozpracovanosti disertační práce a směr výzkumu prováděného v jejím rámci, se studenti zaměřují především na dokončení své práce. Pro její předložení k obhajobě musejí splnit požadavky související především s publikační aktivitou, jejichž smyslem je zajistit, aby disertační práce předložené k obhajobě v tomto studijním programu byly na srovnatelné úrovni s obhájenými pracemi na ostatních matematických pracovištích v ČR i v zahraničí. Po obhájení doktorské práce získávají studenti titul Ph.D.
Hlavním cílem tohoto doktorského studijního programu je vychovat odborníky v oblasti aplikované matematiky, kteří budou schopni pokračovat ve vědecké dráze započaté v rámci svého doktorského studia. Prostředkem k naplnění tohoto cíle je rozšíření vědomostí studentů o netriviální matematické nástroje potřebné pro modelování a řešení problémů praxe, a také prohloubení principů jejich matematického, logického a kritického myšlení.

Absolvent získá hluboké odborné znalosti z řady speciálních oblastí moderní aplikované matematiky, se zaměřením na vybrané partie analýzy obrazů, počítačové grafiky, aplikované topologie, 3D rekonstrukce a vizualizace obrazů, spojitých a diskrétních dynamických systémů, a pokročilých statistických metod. Bude mít také vysoký stupeň geometrického vnímání problémů s vazbou na inženýrské aplikace. Získá rovněž kvalitní znalosti z inženýrských disciplín souvisejících s tématem práce, a bude umět pracovat s moderními programovacími nástroji (Python, C++,...). Samozřejmostí je jazykové vybavení umožňující odbornou spolupráci se zahraničními pracovišti a prezentaci získaných výsledků na mezinárodním fóru.

V rámci své odborné způsobilosti absolvent umí vytvářet matematické modely inženýrských úloh a podle jejich charakteru vyhledávat a rozpracovávat vhodné matematické nástroje a postupy pro jejich řešení. Na vysoké úrovni umí používat matematický software a má osvojené programátorské dovednosti. V širším smyslu je absolvent schopen se podílet na řešení náročných úloh v oblasti technické praxe.

Z hlediska obecnějších dovedností je absolvent schopen samostatné tvůrčí vědecké práce. Osvojí si zásady týmové práce na vysoké odborné úrovni. Naučí se tým řídit po stránce odborné i administrativní, bude se orientovat také v projektové problematice. Může působit i jako matematik v multidisciplinárních týmech. Je schopen se na řešení výzkumných problémů nejen podílet, ale umí sám aktuální vědecké problémy vyhledávat a formulovat. Umí výsledky své práce prezentovat, a to jak formou vědeckých publikací, tak formou odborných přednášek.

Absolvent bude mít rozvinutou schopnost analytického myšlení, což mu v kombinaci se znalostí pokročilých metod aplikované matematiky a výpočetních technologií umožní bezproblémové zapojení do vědeckých týmů na různých typech akademických pracovišť, či v aplikační sféře.

Absolventi nacházejí široké uplatnění na trhu práce pro svoji adaptabilnost, která je umožněna rozsáhlými znalostmi aplikované matematiky. Zájem o tyto absolventy projevují firmy zabývající se vývojem na poli autonomních systémů, robotiky, automatizace či obrazové analýzy, a dále instituce zabývajících se vědou, výzkumem a inovacemi v oblasti informatiky, techniky, řízení kvality, finanční sféře a oblasti zpracování dat. Významné uplatnění nacházejí absolventi tohoto doktorského studijního programu také v akademické sféře. Kromě Ústavu matematiky FSI (mezi jehož zaměstnanci dosahuje podíl absolventů doktorského studijního programu Aplikovaná matematika téměř jedné čtvrtiny) pracují v současné době tito absolventi jako akademičtí pracovníci na dalších ústavech FSI, na dalších fakultách VUT i na dalších vysokých školách. Přetrvávající zájem o tyto absolventy je dán, kromě adaptibility v různých oblastech aplikované matematiky, především jejich vědeckou erudicí (v řadě případů jsou tito absolventi již habilitováni, a ve stále více sledovaných ukazatelích publikační aktivity jsou často na špičce příslušných vzdělávacích institucí).

Viz platné předpisy, Směrnice děkana Pravidla pro organizaci studia na fakultě (doplněk Studijního a zkušebního řádu VUT v Brně).

Pravidla a podmínky pro tvorbu studijních programů určují:
ŘÁD STUDIJNÍCH PROGRAMŮ VUT,
STANDARDY STUDIJNÍCH PROGRAMŮ VUT,
STUDIJNÍ A ZKUŠEBNÍ ŘÁD VUT,
SMĚRNICE DĚKANA Pravidla pro organizaci studia na fakultě (doplněk Studijního a zkušebního řádu VUT v Brně),
SMĚRNICE DĚKANA FSI Jednací řád oborových rad doktorských studijních programů FSI VUT v Brně.
Studium v DSP se neuskutečňuje v kreditovém systému. Klasifikační stupně jsou „prospěl“, „neprospěl“, u obhajoby disertační práce je výsledek „obhájil“, „neobhájil“.

Na VUT jsou zohledněny potřeby rovného přístupu k vysokoškolskému vzdělávání. V přijímacím řízení ani ve studiu nedochází k přímé či nepřímé diskriminaci z žádných důvodů. Studujícím se specifickými vzdělávacími potřebami (poruchy učení, fyzický a smyslový handicap, chronická somatická onemocnění, poruchy autistického spektra, narušené komunikační schopnosti, psychická onemocnění) je poskytováno poradenství v poradenském centru VUT, které je součástí Institutu celoživotního vzdělávání VUT. Podrobně tuto problematiku řeší Směrnice rektora č. 11/2017 „Uchazeči a studenti se specifickými potřebami na VUT“. Rovněž je vytvořen funkční systém sociálních stipendií, který popisuje Směrnice rektora č. 71/2017 „Ubytovací a sociální stipendium“.

Doktorský studijní program Aplikovaná matematika navazuje na navazující magisterský studijní program Matematické inženýrství, který je akreditován (a vyučován) na FSI VUT v Brně.

1. Analýza dynamických systémů na grafech

   Matematické modely popisující populační (případně jinou) dynamiku obvykle pracují s předpokladem izolovanosti oblasti, ve které jednotlivé populace (jevy) pozorujeme. Nebereme tedy v potaz migraci (prostorové rozložení) populace v oblasti. Chceme-li toto zohlednit, typický přístup spočívá v přidání difuzivního člene, což vede na soustavu parciálních diferenciálních rovnic, a tudíž komplikovanější úlohu. Jako alternativní přístup se jeví užití grafového modelu, který je vhodný v situacích, kdy pozorujeme dynamiku na konečném počtu odlehlých oblastí, mezi kterými však dochází k interakci pozorovaných populací. Výhodou tohoto přístupu je, že úloha zůstává z hlediska matematického popisu stejná jako základní negrafový model, pouze se zvyšuje její dimenze. Práce bude zaměřena na analýzu vybraných grafových modelů (typickými otázkami jsou stabilita systému, asymptotické chování, bifurkace, podmínky pro nástup ryze nelineárních jevů, atp.).

   Školitel: Nechvátal Luděk, doc. Ing., Ph.D.

2. Aplikace geometrických algeber v inženýrství

   Geometrické algebry (GA) jsou úspěšně aplikovány v mnoha oblastech teoretických i inženýrských. Ve druhém případě se jedná o analýzu obrazu, počítačové vidění, strojové učení, robotiku, řízení a jiné, včetne konstrukcí neuronových sítí. Stále se objevují specifické algebry vhodné pro konkrétní oblast, takže kromě standardní konformní GA je zkoumána GA pro kuželosečky nebo naopak projektivní GA pro práci s přímkami a rovinami. Struktura musí být vhodná nejen pro efektivní popis problému, ale musí přinášet i výhody ve snížení výpočetní složitosti a časové náročnosti. Výzkum bude probíhat v týmu s mezinárodní spoluprací a povede ke komplexnímu popisu konkrétní aplikace, vybrané struktury, implementaci a demonstraci vhodnosti zvoleného aparátu.

   Školitel: Vašík Petr, doc. Mgr., Ph.D.

3. Duální čísla, Weilovy algebry a aplikace

   Téma doktorského studia je zaměřeno na výzkum v oblasti aplikací faktorových algeber polynomů více neurčitých, kde prototypálním případem je algebra duálních čísel široce užívaná v kinematice. Obecnějším modelem jsou Weilovy algebry hrající významnou roli v diferenciální geometrii. Zde zejména případ nehomogenních ideálů nebyl dosud systematicky zkoumán a výzkum v této oblasti tak představuje nový a náročný vědecký výzkum. V neposlední řadě se lze zaměřit na speciální podokruhy uvedených algeber, které se ukazují být vhodné například pro užití v mřížových kryptosystémech.

   Školitel: Kureš Miroslav, doc. RNDr., Ph.D.

4. Funkcionální diferenciální rovnice

   Funkcionální diferenciální rovnice jsou zobecněním obyčejných diferenciálních rovnic. Speciálním případem těchto rovnic jsou rovnice se zpožděným argumentem. Jejich předností je to, že v některých případech mohu popsat reálné situace lépe než obyčejné diferenciální rovnice. Kromě rovnice se zpožděním se budeme zabývat také rovnicemi se zrychleným argumentem, které ve známé literatuře tak intenzivně studovány nejsou. Zaměříme se hlavně na analýzu kvalitativních vlastností konkrétních funkcionálních diferenciálních rovnic, které se mohou objevit v reálných modelech.

   Školitel: Opluštil Zdeněk, doc. Mgr., Ph.D.

5. Modelování komplexních dynamických systémů

   Komplexní systémy a jejich dynamické hcování jsou v centru zájmu mnoha vědeckých disciplín sahajících od fyziky až po biologii a ekonomiku. Tato dizertační práce se zaměřuje na vývoj a aplikace pokročilých matematických metod pro modelování a analýzu takových systémů. Zvlášní pozornost je věnována zlomkovému kalkulu, který umožňuje modelování zohledňující paměťové efekty a vnitřní vazby v systému, a diferenciálním rovnicím se zpožděním, které reflektují časové prodlevy v interakci mezi komponentami systému. Tyto metody nabízí nové možnosti pro kvalitativní analýzu a pochopení fenoménů jako jsou fázové přechody nebo chaos v komplexních dynamických systémech.

   Školitel: Kisela Tomáš, Ing., Ph.D.

6. Některé typy Lieových grup a jejich fyzikální aplikace

   Student se bude věnovat obecným vlastnostem některých typů Lieových grup, zejména jetových. V obecnější rovině budou studovány nilpotentní a řešitelné grupy. Značná pozornost bude věnována i fyzikálním aplikacím, zejména v mechanice kontinua.

   Školitel: Tomáš Jiří, doc. RNDr., Dr.

7. Numerické algoritmy pro zlomkové diferenciální rovnice

   Téma studia je zaměřeno na numerickou analýzu počátečních problémů pro zlomkové diferenciální rovnice. Vzhledem k četným inženýrským aplikacím zaznamenává teorie zlomkových diferenciálních rovnic velkého vědeckého zájmu. V současnosti je již popsána řada metod, které řeší zlomkové diferenciální rovnice. Vzhledem k povaze numerických schémat se často potýkáme s velkou časovou náročností výpočtu. Náplní práce bude vedle rešeršní a analytické činnosti i návrh a realizace efektivních implementací numerických metod (s možností paralelizace výpočtů) ve vhodném výpočetním prostředí (Python, Matlab).

   Školitel: Tomášek Petr, doc. Ing., Ph.D.

8. Periodická řešení nelineárních obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu

   Budeme se věnovat otázkám existence a stability periodických řešení obyčejných nelineárních diferenciálních druhého řádu. Zaměříme se zejména na rovnice, které se vyskytují v matematických modelech některých procesů v mechanice. Typickým představitelem takových rovnic je neautonmní Duffingova diferenciální rovnice, kterou získáme například při aproximaci nelinearit v pohybových rovnicích některých buzených oscilátorů.

   Školitel: Šremr Jiří, doc. Ing., Ph.D.

9. Topologické a kombinatorické metody pro studium souvislosti digitálních obrazů

   Náplní tématu bude hledání a studium vhodných strukturací digitální roviny pomocí prostředků teorie grafů a obecné topologie. Půjde o strukturace umožňující definice souvislosti a poskytujícího digitální analogie Jordanovy věty. Výzkum je motivován využitím zíkaných výsledků pro řešení problémů zpracování digitálních obrazů.

   Školitel: Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc.