Detail předmětu

Invarianty a symetrie

FSI-9ISY Ak. rok: 2024/2025 Letní semestr

Předmět je zaměřen na užití geometrických metod v problémech diferenciálních rovnic a fyziky. Studium symetrií a problémů s ekvivalencí vyžaduje řadu nástrojů a technik, z nichž mnohé mají svůj původ v diferenciální geometrii. Proto naše studium diferenciálních rovnic a variačních problémů bude mít v podstatě geometrický charakter, na rozdíl od analytických metod. Začneme diferenciálními varietami a Lieovými grupami, podstatná bude metoda pohyblivých reperů. Budeme se soustředit jak na globálně geometrický pohled, tak také i na výpočty v lokálních souřadnicích. Zvláštní pozornost bude věnována nelineárním problémům. Budeme studovat také kalibrační invarianty v souvislosti s Maxwellovými rovnicemi a dále s kvantovou teorií pole.

Jazyk výuky

čeština

Zajišťuje ústav

Vstupní znalosti

Znalosti z lineární algebry a algebry, zejména z vektorových prostorů a teorie grup.

Pravidla hodnocení a ukončení předmětu

Ústní zkouška prověří znalosti základních pojmů a vět a praktickou dovednost při řešení geometrických a fyzikálních úloh.
Přednášky: doporučené

Učební cíle

Cílem je zvládnout nástroje diferenciální geometrie pro řešení problémů invariance v aplikacích.
Student bude mít přehled o základních pojmech a výsledcích moderní diferenciální geometrie. Bude schopen je využívat v problémech řešení diferenciálních rovnic, problémech variačního počtu a fyziky.

Použití předmětu ve studijních plánech

Program D-APM-P: Aplikovaná matematika, doktorský, doporučený kurs

Program D-APM-K: Aplikovaná matematika, doktorský, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Osnova

1. Hladké variety, vektorová pole
2. Distribuce a foliace
3. Lieovy grupy a algebry
4. Reprezentace
5. Jety a kontaktní elementy
6. Diferenciální invarianty
7. Symetrie diferenciálních rovnic
8. Vybrané nelineární problémy
9. Klasická a kvantová teorie pole
10. Kalibrační invarianty